大学物理学（第二版·下册）· 沈黄晋

第 17–19 章 波动光学
以课后习题为导向的知识点梳理

光的干涉 · 光的衍射 · 光的偏振　—— 按“题目考什么”组织，不逐题解答

覆盖 53 道课后习题 17.16–17.37 / 18.8–18.25 / 19.11–19.23 公式 + 判断规则 + 易错点 可直接打印

使用说明怎么用这份资料

这三章的题看起来零碎，其实只有一条主线：写出光程差 δ，令它等于 kλ 或 (2k+1)λ/2，再把几何量代进去。所以下面不按教材小节复述，而按“习题题型”重排：每一类先告诉你“题目在问什么”，再给“必须记住的公式”和“下笔前的判断规则”。

阅读顺序建议
  • 先读 0 三章总框架，把 δ 的三套写法（双缝/薄膜/劈尖）和半波损失规则记牢——这是后面所有题的地基。
  • 每一章的 题型地图先扫一遍，知道这 20 道题分几类、每类对应哪几个公式。
  • 再按模块看公式与判断规则；标 ⚠ 的地方是阅卷的高频扣分点。
  • 最后用 第 4 节公式速查表 和 第 5 节易错 TOP12 做考前自检。
关于符号
本资料沿用教材符号：\(\delta\) 光程差、\(\Delta \varphi\) 相位差、\(\lambda\) 真空中的波长、\(n\) 折射率、\(e\) 薄膜厚度、\(d\) 双缝间距或光栅常数、\(D\) 双缝到屏的距离（第 18 章圆孔直径也用 \(D\)，看上下文）、\(a\) 缝宽、\(f\) 透镜焦距、\(R\) 曲率半径/圆孔半径、\(k\) 级次、\(\alpha\) 夹角。

第 0 章三章总框架：一张表看清在考什么

表 0-1　三章的核心量与典型设问
章核心物理量核心关系题目主要问什么
17 干涉光程差 \(\delta\)\(\delta = k\lambda\)（明）／\((2k+1)\lambda /2\)（暗）波长、膜厚、条纹间距、条纹移动数、曲率半径、折射率
18 衍射衍射角 \(\theta\)\(a \sin\theta = k\lambda\)（单缝暗纹）／\(d \sin\theta = k\lambda\)（光栅主极大）缝宽、光栅常数、可见级次、缺级、分辨距离、谱线宽度
19 偏振光强 \(I\)、相位差 \(\Delta \varphi\)\(I = I_{0}\cos^{2}\alpha\)／\(\tan i_{b} = n_{2}/n_{1}\)／\(\delta _{0} = (n_{o}-n_{e})d\)透射光强、起偏角、波片厚度、出射偏振态、消光条件

0.1　一条主线：所有干涉题都在写同一个 δ

光在折射率为 \(n\) 的介质中走几何路程 \(r\)，折算成真空中的等效路程叫光程 \(L = nr\)。两束光的光程之差就是光程差 \(\delta\)，它决定相位差：

\[\Delta\varphi=\frac{2\pi\delta}{\lambda}\]
λ 用真空中的波长，不要用介质中的波长

于是干涉的明暗条件只有一套：

明纹\[\delta=\pm k\lambda\quad(k=0,1,2,\dots)\]
暗纹\[\delta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}\quad(k=0,1,2,\dots)\]

不同装置的唯一区别，是 \(\delta\) 的具体表达式不同。把下面四行背下来，第 17 章一大半题就只剩代公式：

装置光程差 δ备注
杨氏双缝\(\delta = d\cdot x / D\)小角近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta \approx x/D\)
薄膜（等倾）\(\delta = 2e\sqrt{n_{2}^{2} - n_{1}^{2}\sin^{2}i} + \delta '\)垂直入射简化为 \(2n_{2}e + \delta '\)
劈尖／牛顿环（等厚）\(\delta = 2ne + \delta '\)垂直入射；\(\delta '\) 由半波损失决定
迈克耳孙\(\delta = 2\Delta L\)光往返两次，所以是 2 倍
一句话记忆
“双缝看 x，薄膜看 e，劈尖看厚度，迈克耳孙看 2 倍行程。” 所有干涉题先判断属于哪一类，写下对应的 δ，再套明暗条件。

0.2　半波损失：全章最容易漏、也最容易多加的地方

规则：光从光疏介质射向光密介质（\(n\) 小 → \(n\) 大）的界面反射时，反射光相位突变 π，等效于附加 \(\lambda /2\) 的光程差；透射永远没有半波损失。光从光密射向光疏（\(n\) 大 → \(n\) 小）反射，没有半波损失。

薄膜有两个界面，要看“两次反射的条件是否相同”。设空气/上介质 \(n_{1}\)、膜 \(n_{2}\)、下介质 \(n_{3}\)：

表 0-2　薄膜干涉的附加光程差 δ′（反射光）
折射率关系两次反射条件反射光 δ′透射光 δ′
\(n_{1} < n_{2} < n_{3}\)　或　\(n_{1} > n_{2} > n_{3}\)相同0\(\lambda /2\)
\(n_{1} < n_{2} > n_{3}\)　或　\(n_{1} > n_{2} < n_{3}\)不同λ/20
口诀：单调无，夹心半
  • 单调（折射率递增或递减，如空气→MgF₂→玻璃）→ 反射光附加 0。
  • 夹心（中间膜的折射率最大或最小，如空气→煤油→水、玻璃→空气→玻璃）→ 反射光附加 λ/2。
  • 透射光与反射光恰好相反：反射有则透射无，反射无则透射有。
⚠ 连带结论
  • 反射光干涉加强的波长，在透射光中一定减弱（能量守恒，二者互补）。题目问“反射呈什么颜色/透射呈什么颜色”，就是分别列出加强的可见光波长。
  • 空气劈尖（玻璃—空气—玻璃）属于“夹心”，所以棱边 e = 0 处是暗纹；而 SiO₂/Si（\(n_{1}）属于“单调”，棱边处 \(\delta = 0\) 是明纹。棱边明暗先判断，再数条纹，否则整题级次错一位。
  • 洛埃镜、牛顿环（空气膜）都因半波损失，接触点/镜面处为暗。

0.3　级次计数：“第 k 级”不等于“第 k 条”

装置第 k 级（级次）位置“第 n 条”对应
双缝暗纹\(x = \pm (2k+1)D\lambda /(2d)\)，k = 0,1,2,…第 n 条暗纹 → \(k = n-1\)，\(x = \pm (2n-1)D\lambda /(2d)\)
单缝暗纹\(a \sin\theta = \pm k\lambda\)，k = 1,2,…第 n 条暗纹 → \(k = n\)（中央明纹单独，k = 0 不是暗纹）
牛顿环暗环\(r = \sqrt{kR\lambda /n}\)，k = 0,1,2,…第 n 个暗环 → \(k = n-1\)（k = 0 是中心暗斑）
光栅主极大\(d \sin\theta = \pm k\lambda\)，k = 0,1,2,…0 级在中央，两侧对称 ±1、±2…
⚠ 做题先问自己三句话
  1. 这个装置里，零级/边缘是明还是暗？（看半波损失）
  2. 题目说的是“第 k 级”还是“第 k 条/第 k 个”？
  3. “两个第 5 级暗纹之间的距离”是 2 倍坐标还是 10 倍条纹间距？先在草稿上写清 \(x_{5}\) 再算。

第 1 章 · 教材第 17 章光的干涉

这一章的 22 道题（17.16–17.37）可以归成 5 类：双缝/双棱镜/洛埃镜、薄膜（等倾、增透增反、颜色）、劈尖、牛顿环、迈克耳孙与相干性。前三类决定及格，后两类决定高分。

1.1　题型地图

表 1-1　第 17 章习题分类（题号即教材习题号）
题号题目在做什么要用到的知识点
17.16–17.17双缝：由暗纹位置/间距反求波长、再求某级暗纹坐标双缝明暗纹公式、条纹间距、级次计数
17.18菲涅尔双棱镜：由条纹间距求棱镜顶角等效双缝 \(d \approx 2(n-1)\delta R\)、\(D = R+L\)
17.19双缝：求缝距；一缝盖膜后由条纹移动距离求膜折射率条纹间距、附加光程 \((n-1)e\)、移动条数
17.20两缝各盖不同折射率的等厚膜，原零级处变成某级暗纹两膜附加光程之差、暗纹条件
17.21湖面反射射电波，求第一次极大的仰角洛埃镜模型、半波损失、双光束干涉
17.22–17.26肥皂膜/增透膜/油膜：求最小厚度、判断反射或透射加强的波长与颜色等倾光程差、半波损失、可见光范围筛选
17.27–17.28劈尖测细丝直径、测薄膜厚度（数明纹）劈尖光程差、相邻条纹厚度差、劈尖角
17.29劈尖检验平整度：判断鼓包/凹陷并求高度等厚线概念、缺陷高度 \((a/b)(\lambda /2)\)
17.30–17.33牛顿环：测波长、数亮环、充液体求 n、测曲率半径（证明）明环/暗环半径、直径平方差、介质影响
17.34–17.36迈克耳孙：移动反射镜、插膜、充气测空气折射率\(\Delta L = \Delta N\cdot \lambda /2\)、插入介质的光程改变
17.37由谱线宽度求相干长度与相干时间\(L_{c} = \lambda ^{2}/\Delta \lambda\)、\(\tau _c = L_{c}/c\)

1.2　相干性三条件与光程

必须记住
  • 相干三条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定。
  • 普通光源（自发辐射）各原子发光随机、波列有限，两个独立光源不满足相干条件；必须把同一束光“拆分”成两束再相遇。
  • 获得相干光的两种方法：
    • 分波阵面法：杨氏双缝、菲涅尔双面镜、双棱镜、洛埃镜；
    • 分振幅法：薄膜干涉、迈克耳孙干涉仪。
  • 光程 \(L = nr\)；光程差 \(\delta = n_{2}r_{2} - n_{1}r_{1}\)；相位差 \(\Delta \varphi = 2\pi \delta /\lambda\)。
  • 透镜不产生附加光程差（等光程性）：平行光经透镜会聚到焦点，各光线光程相等。
  • 干涉条纹可见度 \(V = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})\)。
为什么引入光程
同一束光在不同介质中频率不变、波长变为 \(\lambda ' = \lambda /n\)、速度变为 \(v = c/n\)。相位差按“波数×路程”算会处处换波长，很麻烦；用光程 \(nr\) 把介质中的路程折算成真空等效路程，就可以统一用真空波长 \(\lambda\) 算相位差。

1.3　分波阵面干涉：双缝、双棱镜、洛埃镜

（1）杨氏双缝——所有干涉题的“母题”

17.1617.1717.1917.20

\[\delta=\frac{dx}{D}\]
明纹\[x=\pm k\frac{D\lambda}{d}\quad(k=0,1,2,\dots)\]
暗纹\[x=\pm(2k+1)\frac{D\lambda}{2d}\quad(k=0,1,2,\dots)\]
条纹间距\[\Delta x=\frac{D\lambda}{d}\]

（2）一缝插入介质片

17.1917.20

附加光程差\[(n-1)e\]
移动条数\[N=\frac{(n-1)e}{\lambda}\]
零级位移\[\Delta x'=N\Delta x=\frac{D(n-1)e}{d}\]

（3）菲涅尔双棱镜 / 双面镜——等效成双缝

17.18

双棱镜\[D=R+L,\qquad d\approx 2(n-1)\delta R\]
双面镜\[D=R+L,\qquad d\approx 2\alpha R\]
条纹间距\[\Delta x=\frac{D\lambda}{d}\]
δ 为棱镜顶角，α 为两镜夹角

解题只做一件事：把装置等效成“缝距为 d、缝到屏为 D”的双缝，再套 \(\Delta x = D\lambda /d\)。注意这里的 \(D\) 是虚光源到屏的距离（\(R+L\)），不是棱镜到屏的 \(L\)。

（4）洛埃镜——半波损失的“证据”

17.21

⚠ 洛埃镜最容易错的两点
  1. 忘记加 \(\lambda /2\)，导致“第一次极大/极小”的角度整体错一档；
  2. 把 \(d\) 写成 \(h\)。虚光源在镜面下方对称处，所以间距是 \(2h\)。

1.4　薄膜干涉（分振幅）：等倾、增透增反、颜色

17.2217.2317.2417.2517.26

反射光\[\delta=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2 i}+\delta'\]
垂直入射\[\delta=2n_2e+\delta'\]
δ′ 按表 0-2 取 0 或 λ/2；透射光的附加项与反射光相反

等倾干涉

增透膜与增反膜

类型典型结构要求最小厚度
增透（减反）空气 → MgF₂(1.38) → 玻璃(1.5)，单调反射光相消：\(2n_{2}e = (2k+1)\lambda /2\)\(e_{\min} = \lambda /(4n_{2})\)
增反空气 → 高折射率膜 → 低折射率基底（夹心）反射光相长：\(2n_{2}e + \lambda /2 = k\lambda\)\(e_{\min} = \lambda /(4n_{2})\)（k=1）

多层膜：每层厚度取 \(\lambda /(4n)\)，使各界面反射光逐层同相叠加，反射率可接近 100%；干涉滤光片则利用“只让某一波长透过”。

白光照射：怎么判断“呈什么颜色”

1
先定 δ′：判断 n₁、n₂、n₃ 是“单调”还是“夹心”，确定反射光附加 0 还是 λ/2。
2
再写加强条件：反射加强 \(2n_{2}e + \delta ' = k\lambda\)，解出 \(\lambda = (2n_{2}e + \delta ')/k\)，让 k 取 1,2,3… 逐个试。
3
筛可见光：只保留 400–760 nm 的波长；若问透射颜色，把 δ′ 换成透射的附加项（与反射相反），或直接用“反射加强 ⇔ 透射减弱”。
⚠ 两个“最小厚度”不要混
“反射光中某波长加强”与“增透膜让某波长无反射”是相反的要求：前者要 \(2n_{2}e + \delta ' = k\lambda\)，后者要 \(2n_{2}e + \delta ' = (2k+1)\lambda /2\)。看到“毫无反射地透过”就是增透（相消），看到“反射加强/呈某颜色”就是相长。

1.5　等厚干涉：劈尖与牛顿环

17.2717.2817.2917.3017.3117.3217.33

共同点：膜厚 e 相同的地方光程差相同 → 同一条纹就是一条等厚线（等高线）。所以条纹的形状直接反映膜厚的分布。

（1）劈尖

\[\delta=2ne+\delta'\]
明纹\[2ne+\delta'=k\lambda\]
暗纹\[2ne+\delta'=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\]
厚度差\[\Delta e=\frac{\lambda}{2n}\]
条纹间距\[\Delta l=\frac{\lambda}{2n\sin\alpha}\approx\frac{\lambda}{2n\alpha}\]

（2）牛顿环

明环\[r_k=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}}\quad(k=1,2,3,\dots)\]
暗环\[r_k=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}\quad(k=0,1,2,\dots)\]
直径平方差\[D_m^2-D_n^2=\frac{4(m-n)R\lambda}{n}\]
⚠ 牛顿环公式的“版本差异”
不同教材对“第 k 级明环”的编号不同，有的写成 \(r = \sqrt{(2k-1)R\lambda /2}\)（k 从 1 开始），有的写成 \(r = \sqrt{(2k+1)R\lambda /2}\)（k 从 0 开始）。以本教材式（17.54）为准：明环 \(r_{k} = \sqrt{(2k-1)R\lambda /(2n)}\)，k = 1,2,…；暗环 \(r_{k} = \sqrt{kR\lambda /n}\)，k = 0,1,…。做题时先写“第 k 级”再代数，别死记。

1.6　迈克耳孙干涉仪

17.3417.3517.36

\[\Delta L=\Delta N\cdot\frac{\lambda}{2}\]
插入介质膜\[2(n-1)e=\Delta N\lambda\]
气室充气\[2(n-1)l=\Delta N\lambda\]

注意“2 倍”：光在臂中往返两次。这是迈克耳孙与“薄膜垂直入射”唯一的区别。应用：测波长、测长度、测折射率、测热膨胀。

1.7　空间相干性与时间相干性

17.37

类型物理含义定量关系
空间相干性扩展光源不同点发出的光不相干，限制了波阵面上能相干的两点距离\(d < R\lambda /b\)（\(b\) 光源宽度，\(R\) 光源到双缝距离）
时间相干性波列长度有限，光程差太大时两列波错开、不重叠，条纹消失相干长度 \(L_{c} = \lambda ^{2}/\Delta \lambda\)；相干时间 \(\tau _c = L_{c}/c\)

1.8　本章易错清单

⚠ 考前逐条核对
  1. 薄膜反射/透射的附加光程差搞反（反射有 λ/2，透射就没有）。
  2. “单调/夹心”判断错：先写 \(n_{1},\ n_{2},\ n_{3}\) 的大小顺序，再查表 0-2。
  3. 双缝暗纹级次从 \(k = 0\) 开始，导致“第 5 条暗纹”算成 \(k = 5\)。
  4. 双棱镜/双面镜的 \(D\) 写成 \(L\)，忘记 \(D = R + L\)；\(d\) 忘记 \(2(n-1)\delta R\) 中的 \(2\)。
  5. 洛埃镜忘记半波损失，或 \(d\) 忘记取 \(2h\)。
  6. 劈尖棱边明暗不判断就数条纹；\(\Delta e = \lambda /(2n)\) 漏掉 \(n\)。
  7. 牛顿环明环/暗环公式混用；测液体时忘记 \(n\) 在根号内。
  8. 迈克耳孙的 \(\Delta L\) 与 \(\Delta N\) 关系漏掉因子 2。
  9. “反射呈什么颜色”只算了一个 k，没有把 k 取遍并筛 400–760 nm。

第 2 章 · 教材第 18 章光的衍射

18 道题（18.8–18.25）实际上只有 4 个公式家族：单缝的 \(a \sin\theta\)、圆孔的 \(1.22\lambda /D\)、光栅的 \(d \sin\theta\)、晶体的 \(2d \sin\theta\)。难点不在公式，而在“级次、缺级、包络、重叠”这几个概念。

2.1　题型地图

表 2-1　第 18 章习题分类
题号题目在做什么要用到的知识点
18.8–18.11单缝：中央明纹宽度、暗纹间距、由明纹位置反求波长与半波带数半波带法、暗纹/明纹条件、角宽度与线宽度
18.12–18.15人眼/望远镜/相机：最小分辨角、可分辨距离、焦平面爱里斑爱里斑、瑞利判据、分辨本领
18.16–18.19光栅：求光栅常数/线数、缺级、最大级次、谱线重合光栅方程、缺级条件、\(k_{\max} < d/\lambda\)
18.20–18.21双缝衍射：干涉间距、单缝包络宽度、包络内干涉明纹数干涉×衍射调制、\(d/a\)
18.22–18.24两波长第一级明纹间距、白光光谱宽度、一级与二级光谱重叠光栅方程、角色散、\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx x/f\)
18.25X 射线在岩盐晶体上的布拉格衍射，求晶面间距与未知波长布拉格公式 \(2d \sin\theta = k\lambda\)

2.2　惠更斯-菲涅尔原理与两类衍射

必须记住
  • 惠更斯-菲涅尔原理：波阵面上每一点都可看作新的子波源，各子波在空间某点相干叠加，决定该点的振动。
  • 衍射是否明显：障碍物/缝宽 \(a\) 与波长 \(\lambda\) 同数量级时明显；\(a \gg \lambda\) 时近似直线传播。
  • 菲涅尔衍射（近场，光源/屏在有限距离）与夫琅禾费衍射（远场，平行光入射、透镜焦平面观察）。本章只考夫琅禾费。

2.3　单缝夫琅禾费衍射

18.818.918.1018.1118.22

暗纹\[a\sin\theta=\pm k\lambda\quad(k=1,2,3,\dots)\]
明纹\[a\sin\theta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}\quad(k=1,2,3,\dots)\]
中央明纹\[\theta=0,\quad\Delta\theta_0=\frac{2\lambda}{a},\quad\Delta x_0=\frac{2f\lambda}{a}\]
其他明纹\[\Delta\theta=\frac{\lambda}{a},\quad\Delta x=\frac{f\lambda}{a}\]
⚠ 单缝的三个“陷阱”
  1. 暗纹条件是严格的，明纹条件 \((2k+1)\lambda /2\) 是近似（实际极大在 \(\beta = 1.43\pi , 2.46\pi \dots\)）。做题用近似式即可，但要知道它是近似。
  2. 中央明纹宽度是其他明纹的 2 倍：\(2f\lambda /a\) vs \(f\lambda /a\)。题目问“中央明纹宽度”不要漏 2。
  3. “两个第 2 级明纹中心之间的距离”是 \(2x_{2}\)，而 \(x_{2} = 5f\lambda /(2a)\)（k = 2），不是 \(2f\lambda /a\)。

2.4　圆孔衍射与光学仪器的分辨本领

18.1218.1318.1418.15

爱里斑半角\[\theta_0=\frac{0.61\lambda}{R}=\frac{1.22\lambda}{D}\]
爱里斑半径\[r_0=\frac{1.22f\lambda}{D}\]
瑞利判据\[\delta\theta=\frac{1.22\lambda}{D}\]
分辨本领\[R=\frac{1}{\delta\theta}=\frac{D}{1.22\lambda}\]
显微镜\[\delta y=\frac{0.61\lambda}{n\sin u}\]
1.22 与 0.61 的关系
\(D = 2R\)，所以 \(1.22\lambda /D = 0.61\lambda /R\)。看到 \(0.61\) 就知道用的是半径 \(R\)，看到 \(1.22\) 用的是直径 \(D\)。显微镜公式里的 0.61 对应“半径/数值孔径”形式。

2.5　光栅衍射：本章的重头戏

18.1618.1718.1818.1918.2218.2318.24

光栅常数\[d=a+b\]
主极大\[d\sin\theta=\pm k\lambda\quad(k=0,1,2,\dots)\]
缺级\[k=\frac{d}{a}k'\quad(k'=1,2,3,\dots)\]
最大级次\[k_{\max}<\frac{d}{\lambda}\quad(\sin\theta<1)\]
半角宽\[\Delta\theta=\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k}\]
分辨本领\[A=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=kN\]
角色散\[D_\theta=\frac{d\theta}{d\lambda}=\frac{k}{d\cos\theta}\]
⚠ 光栅题的顺序不能乱
  1. 先由 \(d \sin\theta = k\lambda\) 求 \(d\) 或 \(\lambda\)；
  2. 再算 \(k_{\max} < d/\lambda\)；
  3. 再用 \(k = (d/a)k'\) 划掉缺级；
  4. 最后数“实际可见”的级次（含 0 级、含正负）。
如果先数级次再判缺级，很容易把缺级算进去。

2.6　双缝衍射：干涉被衍射“调制”

18.2018.21

2.7　X 射线衍射与布拉格公式

18.25

\[2d\sin\theta=k\lambda\quad(k=1,2,3,\dots)\]
θ 是掠射角（射线与晶面的夹角）

2.8　本章易错清单

⚠ 考前逐条核对
  1. 单缝中央明纹宽度漏掉因子 2；把“其他明纹宽度”当成中央宽度。
  2. 明纹用 \(a \sin\theta = (2k+1)\lambda /2\) 时，k 从 1 开始（k = 0 是中央明纹，不是“第 0 级明纹”）。
  3. 小角近似 \(x = f \sin\theta\) 用在大角度上，误差大；大角度用 \(\tan\theta\)。
  4. 光栅最大级次忘记“严格小于”：\(k = d/\lambda\) 时 \(\theta = 90^{\circ}\)，看不到。
  5. 缺级只写 \(d/a\) 的整数倍，忽略 \(d/a\) 为分数时的其它缺级。
  6. 包络内明纹数忘记排除缺级，或把“干涉明纹”与“光栅主极大”混为一谈。
  7. 布拉格公式把掠射角当成入射角，或漏掉 2。
  8. 圆孔公式里 \(D\) 与 \(R\) 混用（1.22 配 D、0.61 配 R）。

第 3 章 · 教材第 19 章光的偏振

13 道题（19.11–19.23）集中在四件事：偏振度、马吕斯定律（偏振片串）、布儒斯特角、波片与偏振光干涉。前两件是送分题，后两件是拉分题。

3.1　题型地图

表 3-1　第 19 章习题分类
题号题目在做什么要用到的知识点
19.11部分偏振光：由最大/最小透射光强比求自然光与线偏振光之比、偏振度偏振度定义、自然光过偏振片减半
19.12–19.15三片偏振片、正交片间插片旋转、吸收损耗、两光源比较马吕斯定律逐片相乘
19.16–19.17水面反射光的起偏角、两层平行介质同时满足布儒斯特条件\(\tan i_{b} = n_{2}/n_{1}\)、\(i_{b} + \gamma = 90^{\circ}\)
19.18–19.191/4 波片最小厚度、椭圆偏振光的长短轴比与波片厚度波片光程差、o/e 振幅分解
19.20正交偏振片间放晶片：哪些波长消光、何时成圆偏振光偏振光干涉的相位差、消光条件
19.21–19.231/2 波片转振动面、1/4 波片后光强、晶片使透射光强最小波片转过 2α、振幅投影、干涉光强公式

3.2　五种偏振态与偏振度

19.11

偏振态特征过偏振片（旋转）
自然光各方向光振动强度相等、无固定相位关系光强减半 \(I = I_{s}/2\)，旋转不变
线偏振光只有一个振动方向有消光，\(I = I_{0}\cos^{2}\alpha\)
部分偏振光某方向最强、垂直方向最弱，无固定相位有强弱变化，无消光
圆偏振光两正交分量等幅、相位差 ±π/2光强不变（与自然光相同）
椭圆偏振光两正交分量幅值不等、相位差固定有强弱变化，无消光（与部分偏振相同）
偏振度\[P=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}\]
部分偏振光\[I(\alpha)=\frac{I_s}{2}+I_0\cos^2\alpha\]
偏振态的“两步鉴别法”（思考题高频）
1
只用检偏器旋转：有消光 → 线偏振；光强不变 → 自然光或圆偏振；有变化但无消光 → 部分偏振或椭圆偏振。
2
加 1/4 波片再检偏：自然光/圆偏振 → 出现消光的是圆偏振，仍不变的是自然光；部分/椭圆 → 先让透射最强（或最弱），再把 1/4 波片光轴平行偏振化方向插入，出现消光的是椭圆偏振，否则是部分偏振。

3.3　马吕斯定律与偏振片串

19.1219.1319.1419.1519.21

\[I=I_0\cos^2\alpha\]
α 为入射偏振方向与偏振片偏振化方向的夹角
⚠ 三片题最容易错的地方
第二片与第三片的夹角是 \(90^{\circ} - \alpha\)，不是 \(\alpha\)；且第一片后的光强是 \(I_{s}/2\)，不是 \(I_{s}\)。把这两个数写对，后面只是三角化简。

3.4　布儒斯特定律：反射光的偏振

19.1619.17

\[\tan i_b=\frac{n_2}{n_1}\]
\[i_b+\gamma=90^\circ\]
为什么反射线、折射线垂直
由折射定律 \(n_{1}\sin i_{b} = n_{2}\sin \gamma\) 和 \(\tan i_{b} = n_{2}/n_{1}\) 得 \(\sin i_{b} \cos i_{b} = \sin \gamma \cos i_{b}\)，即 \(\sin i_{b} = \sin(90^{\circ} -\gamma )\)，故 \(i_{b} + \gamma = 90^{\circ}\)。这个结论在几何题里比公式本身更好用。

3.5　双折射与波片

19.1819.1919.2119.22

必须记住的概念
  • o 光：遵守折射定律，振动方向垂直于主平面，各方向折射率都是 \(n_{o}\)。
  • e 光：一般不遵守折射定律，振动方向平行于主平面，折射率随方向变，主折射率 \(n_{e}\)。
  • 光轴：晶体中光沿此方向传播不发生双折射的方向；主截面：光轴与光线组成的平面。
  • 正晶体 \(n_{e} > n_{o}\)（如石英）；负晶体 \(n_{e} < n_{o}\)（如方解石）。
光程差\[\delta_0=(n_o-n_e)d\]
相位差\[\Delta\varphi_0=\frac{2\pi(n_o-n_e)d}{\lambda}\]
1/4 波片\[\delta_0=\pm\frac{\lambda}{4}\quad\left(d=\frac{\lambda}{4|n_o-n_e|}\right)\]
1/2 波片\[\delta_0=\pm\frac{\lambda}{2}\quad\left(d=\frac{\lambda}{2|n_o-n_e|}\right)\]
全波片\[\delta_0=\pm\lambda\]

3.6　偏振光干涉：P₁ → 晶片 → P₂

19.2019.23

自然光经 \(P_{1}\) 成为线偏振光，经晶片分解为 o、e 两束（振动方向垂直，本来不干涉），再经 \(P_{2}\) 把两者投影到同一方向，才满足相干条件。

P₁ ⊥ P₂\[\Delta\varphi_\perp=\frac{2\pi(n_o-n_e)d}{\lambda}+\pi,\qquad I_\perp=I_0\sin^2 2\alpha\sin^2\frac{\Delta\varphi_0}{2}\]
P₁ ∥ P₂\[\Delta\varphi_\parallel=\frac{2\pi(n_o-n_e)d}{\lambda},\qquad I_\parallel=I_0\left[1-\sin^2 2\alpha\sin^2\frac{\Delta\varphi_0}{2}\right]\]
⚠ 偏振干涉题的“三查”
  1. \(P_{1},\ P_{2}\) 是正交还是平行？两者的附加相位差差一个 \(\pi\)，光强公式差一个“1 −”。
  2. \(\alpha\) 是“光轴与 \(P_{1}\) 偏振化方向”的夹角，还是“光轴与 \(P_{2}\)”的夹角？代入前统一成前者。
  3. 波片是 1/4 还是 1/2？1/2 波片不产生椭圆偏振，只转振动面 2α，别套 1/4 的结论。

3.7　旋光现象与人为双折射

3.8　本章易错清单

⚠ 考前逐条核对
  1. 自然光过第一片偏振片忘记减半。
  2. 多片串联时，\(\alpha\) 取错（应逐片取“当前方向与下一片”的夹角）。
  3. 把布儒斯特角当成“折射光完全偏振”——只有反射光完全偏振。
  4. 布儒斯特角用 \(n_{1}/n_{2}\)（反了），或忘记 \(i_{b} + \gamma = 90^{\circ}\)。
  5. 波片厚度公式漏绝对值：正晶体 \(n_{e} > n_{o}\)，负晶体 \(n_{e} < n_{o}\)，厚度用 \(|n_{o} - n_{e}|\)。
  6. 1/4 波片只有在 \(\alpha = 45^{\circ}\) 时才产生圆偏振；其它角是椭圆。
  7. 偏振干涉的附加 \(\pi\) 只在 \(P_{1}\perp P_{2}\) 时出现。
  8. 把“光强最小”当成“消光”：一般角度下 \(P_{2}\) 仍能透出一部分，最小不一定为零。

第 4 章公式速查总表（考前 10 分钟）

干涉

物理量/装置公式备注
光程、相位差\(L = nr,\delta = n_{2}r_{2} - n_{1}r_{1},\Delta \varphi = 2\pi \delta /\lambda\)λ 为真空波长
明/暗条件\(\delta = k\lambda ;\delta = (2k+1)\lambda /2\)k = 0,1,2…
双缝明纹\(x = \pm kD\lambda /d\)k = 0 中央
双缝暗纹\(x = \pm (2k+1)D\lambda /(2d)\)k = 0 第 1 条暗纹
双缝条纹间距\(\Delta x = D\lambda /d\)等间距
插介质片\(N = (n-1)e/\lambda ;\Delta x' = D(n-1)e/d\)N 为移动条数
双棱镜/双面镜\(D = R+L;d = 2(n-1)\delta R;d = 2\alpha R\)δ、α 为小角
薄膜（反射）\(\delta = 2e\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}i} + \delta '\)垂直入射 \(2n_{2}e + \delta '\)
增透膜最小厚度\(e = \lambda /(4n_{2})\)反射相消
劈尖\(\Delta e = \lambda /(2n);\Delta l = \lambda /(2n \sin\alpha )\)测细丝 \(d = L\lambda /(2\Delta l)\)
劈尖缺陷高度\(h = (a/b)(\lambda /2)\)a 弯曲量、b 条纹间距
牛顿环明环\(r_{k} = \sqrt{(2k-1)R\lambda /(2n)}\)k = 1,2,…
牛顿环暗环\(r_{k} = \sqrt{kR\lambda /n}\)k = 0 中心暗斑
牛顿环直径差\(D_{m}^{2} - D_{n}^{2} = 4(m-n)R\lambda /n\)不需绝对级次
迈克耳孙\(\Delta L = \Delta N\cdot \lambda /2\)插膜 \(2(n-1)e = \Delta N\lambda\)
相干长度\(L_{c} = \lambda ^{2}/\Delta \lambda ;\tau _c = L_{c}/c\)谱线宽度越小越长

衍射

物理量/装置公式备注
单缝暗纹\(a \sin\theta = \pm k\lambda\)k = 1,2,…
单缝明纹\(a \sin\theta = \pm (2k+1)\lambda /2\)近似；k = 1,2,…
单缝中央明纹\(\Delta \theta _{0} = 2\lambda /a;\Delta x_{0} = 2f\lambda /a\)其他明纹宽 \(f\lambda /a\)
单缝光强\(I = I_{0}(\sin\beta /\beta )^{2},\beta = \pi a \sin\theta /\lambda\)包络线
爱里斑\(\theta _{0} = 1.22\lambda /D = 0.61\lambda /R;r_{0} = 1.22f\lambda /D\)D 为直径
瑞利判据\(\delta \theta = 1.22\lambda /D;R = D/(1.22\lambda )\)分辨本领
显微镜\(\delta y = 0.61\lambda /(n \sin u)\)数值孔径
光栅方程\(d \sin\theta = \pm k\lambda ,d = a+b\)主极大
缺级\(k = (d/a)k'\)k′ = 1,2,…
最大级次\(k_{\max} < d/\lambda\)严格小于
光栅半角宽\(\Delta \theta = \lambda /(Nd \cos\theta )\)N 越大越细
光栅分辨本领\(A = \lambda /\Delta \lambda = kN\)—
角色散\(D_\theta = k/(d \cos\theta )\)线色散 \(fD_\theta\)
布拉格\(2d \sin\theta = k\lambda\)θ 为掠射角

偏振

物理量/装置公式备注
偏振度\(P = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})\)0～1
部分偏振光\(I(\alpha ) = I_{s}/2 + I_{0}\cos^{2}\alpha\)自然光 + 线偏振
马吕斯定律\(I = I_{0}\cos^{2}\alpha\)逐片相乘
布儒斯特角\(\tan i_{b} = n_{2}/n_{1};i_{b} + \gamma = 90^{\circ}\)反射光完全偏振
波片光程差\(\delta _{0} = (n_{o} - n_{e})d;\Delta \varphi _{0} = 2\pi \delta _{0}/\lambda\)—
1/4、1/2 波片\(\delta _{0} = \lambda /4,\ \lambda /2;d = \lambda /(4\Delta n),\ \lambda /(2\Delta n)\)Δn = |n_o−n_e|
o/e 振幅\(E_{o} = E_{0}\sin\alpha ;E_{e} = E_{0}\cos\alpha\)α 与光轴夹角
偏振干涉（正交）\(I\perp = I_{0}\sin^{2}2\alpha \cdot \sin^{2}(\Delta \varphi _{0}/2)\)附加 π
偏振干涉（平行）\(I\parallel = I_{0}[1 - \sin^{2}2\alpha \cdot \sin^{2}(\Delta \varphi _{0}/2)]\)无附加 π
旋光\(\Delta \varphi = \alpha L;\Delta \varphi = \alpha cL\)固体/溶液

第 5 章高频易错 TOP 12

这 12 条几乎覆盖了这三章 80% 的失分
  1. 半波损失：反射看“光疏→光密”，薄膜看“单调/夹心”；透射与反射相反。漏加或多加 λ/2，整题级次错一位。
  2. 级次 vs 条数：双缝暗纹 k 从 0 开始，牛顿环暗环 k 从 0 开始（中心暗斑），单缝暗纹 k 从 1 开始。
  3. 中央明纹宽度是其他明纹的 2 倍：\(2f\lambda /a\)，别写成 \(f\lambda /a\)。
  4. 迈克耳孙的因子 2：\(\Delta L = \Delta N\lambda /2\)，因为光往返两次。
  5. 双棱镜/双面镜的 D：\(D = R + L\)，不是棱镜到屏的 L；\(d\) 中的 2 别丢。
  6. 洛埃镜：反射光有半波损失，镜面处为暗；\(d = 2h\)。
  7. 光栅缺级：\(k = (d/a)k'\)；最大级次严格小于 \(d/\lambda\)；数“实际可见”级次时先划掉缺级。
  8. 光栅包络内条纹数：\(2\lfloor d/a\rfloor +1\)，\(d/a\) 为整数时是 \(2d/a - 1\)。
  9. 布拉格角是掠射角，不是入射角；公式里的 2 别丢。
  10. 自然光过偏振片减半；多片串联逐片乘 \(\cos^{2}\)，角度逐片取。
  11. 布儒斯特角只让反射光完全偏振；折射光仍是部分偏振。
  12. 波片：厚度用 \(|n_{o}-n_{e}|\)；1/4 波片只有 \(\alpha =45^{\circ}\) 才得圆偏振；偏振干涉的附加 π 只在 \(P_{1}\perp P_{2}\)。

第 6 章三轮复习路线（按做题能力递进）

第一轮：搭骨架（约 1.5 小时）

第二轮：按题型攻（约 3 小时）

优先顺序题型目标
① 必拿分双缝（含插膜）、单缝、光栅方程、马吕斯看到题能 1 分钟内写出公式并代入
② 高频薄膜增透/颜色、劈尖、牛顿环、圆孔分辨本领会判断半波损失、会筛可见光波长
③ 拉分光栅缺级/包络/光谱重叠、偏振光干涉、波片会画“光强/级次”示意，知道先算什么后算什么
④ 补漏迈克耳孙、相干长度、布拉格、旋光记住公式与“2 倍/掠射角”等特殊点

每类只做 1–2 道代表题即可，重点是写清“我用的是哪个 δ、为什么加/不加 λ/2”，而不是刷数量。

第三轮：回扣概念（约 1 小时）

最后一句
这三章的“琐碎”是假象：干涉题都在写 δ，衍射题都在写 sinθ，偏振题都在算光强或相位差。把每一类题的“第一句话”固定下来（先判断装置 → 写 δ 或 sinθ → 套明暗/极大条件 → 代几何量），题目就只剩计算了。
依据《大学物理学（第二版·下册）》（沈黄晋）第 17–19 章正文、例题与课后习题（17.16–17.37、18.8–18.25、19.11–19.23）整理 · 仅知识点梳理，不含题目解答 · 可浏览器打印为 PDF